Update nhanh

Thời gian vừa qua mình có một chút việc bận nên không thể có thời gian viết blog thường xuyên được. Cụ thể hơn là mình có kỳ thi qual, là kỳ thi cuối năm 2 để đánh giá xem học sinh có đủ khả năng để ở lại department và làm nghiên cứu hay không. Mình chọn 2 môn là Algebraic Topology và Riemannian Geometry (đúng những gì đã được viết trên blog này) và đã pass. Giờ là thời gian nghỉ hè, mình sẽ có nhiều thời gian hơn để viết tiếp, và một số kế hoạch trong thời gian tới sẽ như sau:

  1. Mình có một bài viết dở về Gauss curvature từ khá lâu rồi, có lẽ sẽ viết nốt và upload tương đối sớm thôi.
  2. Hiện tại mình đang cùng một vài cậu bạn định lập ra một page toán vui vui trên fb cho mọi người đọc giải trí (có lẽ là sẽ tập trung nhiều hơn về mặt giải trí chứ không đi vào technical details như blog này). Hiện tại đã xong 1 bài, chia làm 2 kỳ, và tầm 3 bài nữa đang được viết. Page này có lẽ cũng sẽ được lập trong một vài tuần sắp tới.

Vì lâu lâu không có update gì nên mình cũng chỉ muốn post chống mốc vậy thôi, hẹn gặp lại (tới 2-3 người đọc duy nhất) trong thời gian gần nhất.

Posted in Uncategorized | Leave a comment

Đáp án đố vui

Đề bài có thể xem tại link này: Đố vui.

Chọn 2 điểm A và B trên sợi dây sao cho 2 điểm này chia đôi độ dài của nó, nghĩa là mỗi nửa của sợi dây có độ dài ngắn hơn \pi.

Nối 2 điểm A và B bằng dây cung ngắn hơn của đường tròn lớn (chú ý rằng không thể có trường hợp 2 nửa của đường tròn lớn dài bằng nhau vì khoảng cách giữa A và B ngắn hơn nửa độ dài sợi dây, và vì vậy nhỏ hơn \pi). Gọi C là trung điểm của dây cung này.

Ta muốn chứng minh rằng sợi dây nằm gọn trong bán cầu có đỉnh là C, bằng một quan sát thú vị sau đây: Tổng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường xích đạo tới 2 điểm A và B bằng 2\pi.

IMG_20170321_223317889_HDR

Gọi D là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng xích đạo. Do A và B đối xứng qua đỉnh C, dễ thấy rằng D là điểm đối xứng của B qua tâm của quả cầu. Chọn E là một điểm bất kỳ trên đường xích đạo. Ta có: EA + EB = ED + EB = BD = 2 \pi. Vì vậy tổng khoảng cách giữa mỗi điểm trên đường xích đạo tới A và B là 2\pi. Trong khi đó khoảng cách giữa một điểm bất kỳ trên sợi dây tới A và B nhỏ hơn 2 \pi. Ta kết luận rằng sợi dây không cắt đường xích đạo. QED.

Mẹo dùng điểm đối xứng này tương đối giống với bài toán quen thuộc mà học sinh cấp 3 nào cũng biết sau đây: Cho 2 điểm A và B trên mặt phẳng, nằm cùng một phía đường thẳng d. Tìm điểm C trên d sao cho AC + BC nhỏ nhất. Cách giải thường gặp đó là áp dụng phương pháp “gương phẳng”: gọi A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng, sau đó chọn C là điểm cắt của A’B với d. Mẹo này xuất hiện tương đối tự nhiên trên mặt phẳng, tuy nhiên khi làm việc trên quả cầu, không dễ để phát hiện ra nó.

IMG_20170321_223325326

 

Posted in Uncategorized | Leave a comment

Đố vui

Hiện tại mình đang viết tiếp một bài về hình học đa chiều, cụ thể là về “độ cong” bề mặt. Tuy nhiên để chống mốc cho blog, mình có một bài toán vui như thế này.

Cho một quả cầu có bán kính 1. Có một vòng dây (vòng kín) có chiều dài nhỏ hơn 2\pi, nằm trên bề mặt quả cầu. Chứng minh rằng, có thể tìm được một bán cầu sao cho sợi dây nằm gọn trong bán cầu đó. Chú ý rằng đường tròn lớn có chiều dài đúng bằng 2 \pi.

Bài toán này không khó, tuy nhiên cũng không dễ nếu bạn không có một bức tranh chính xác về những việc đang diễn ra. Bạn đọc nào có hứng thú có thể comment/pm mình lời giải (thực ra mình đoán cũng chẳng có mấy ai đọc blog này lol, nhưng mà biết đâu được). Lời giải sẽ được cập nhật sau 2 tuần.

Posted in Uncategorized | Leave a comment

Đường thẳng trên mặt cong

Hôm nay mình muốn đổi gió một chút, vì cảm giác viết về Topo vẫn chưa được vào tay, vẫn có gì đó có vẻ khiến nhiều người ngại không muốn đọc. Chính vì thế topic của ngày hôm nay sẽ là hình học Riemannian. Môn này sẽ hình tượng hơn, và mình hy vọng là sẽ thu hút người đọc nhiều hơn. Đừng sợ vì cái tên của bộ môn, nó gần gũi với cuộc sống hơn bạn tưởng nhiều.

Riêng sự ra đời của bộ môn này cũng đã thú vị rồi. Chuyện là thế này: để lấy được bằng Habilitation (một kiểu chứng chỉ để có thể đi dạy đại học), Riemann phải thực hiện một bài giảng cho khoa toán. Riemann có quyền đưa ra 3 chủ đề, và Gauss, khi đó là người hướng dẫn của Riemann, sẽ chọn ra 1 để Riemann thuyết trình. Riemann chọn 2 chủ đề gì đó về toán học về điện, và chủ đề cuối cùng là “hình học trong không gian đa chiều”. Chủ đề này Riemann cũng mới chỉ có vài ý tưởng sơ sơ và cũng chỉ viết vào cho có, vì thông thường thì người hướng dẫn chỉ chọn 1 trong 2 chủ đề phía trên, những thứ mà học sinh đã thông thạo. Tuy nhiên, Gauss, một thiên tài, nhận ra rằng chủ đề thứ 3 này có gì đó rất thú vị mà chính ông cũng chưa hiểu rõ hết về nó. Và Gauss quyết định giao cho Riemann chủ đề này. Chỉ trong vài tuần ngắn ngủi sau đó, để chuẩn bị cho buổi thuyết trình, Riemann đã sáng tạo ra bộ môn hình học hoàn toàn mới này. Và đây cũng là lý do tại sao nó được gọi là hình học Riemannian.

Vậy bộ môn này nói về cái gì? Đầu tiên mình phải giới thiệu về khái niệm đa tạp (manifold), mà cụ thể ở đây là Riemannian manifold. Đây là những không gian mà bạn có thể “lát gạch” bằng những mảnh ghép là không gian n-chiều \mathbb{R}^n. Ví dụ như thế này: hình tròn là một manifold 1 chiều, vì bạn có thể chia đôi nó ra, và mỗi phần đều giống với đường thẳng \mathbb{R} = \mathbb{R}^1. Tương tự, hình cầu là một manifold 2 chiều, vì bạn cũng có thể cắt đôi nó ra và có được 2 mảnh ghép là các mặt phẳng, nghĩa là \mathbb{R}^2. Cái donut và cái bánh pretzel đều là những manifold 2 chiều.

Tuy nhiên, có một điều kiện nữa để các manifold này được coi là Riemannian manifold, đó là các không gian này cần phải “mịn”, nói nôm na là không có góc cạnh. Hình tròn, hình cầu, cái donut đều rất mịn. Hình vuông, hình hộp thì không, mặc dù dưới góc nhìn của topo thì 2 hình này đều giống như hình cầu.

img_20170206_001720679

Một câu hỏi tương đối tự nhiên đó là, khoảng cách ngắn nhất giữa 2 điểm trên bề mặt “láng mịn” này là gì, và quãng đường nối 2 điểm đó trông như thế nào. Từ đó ta cần định nghĩa khái niệm đường trắc địa (geodesic). Các đường trắc địa này có thể được hình dung như sau: nối 2 điểm bằng 1 sợi dây cao su, rồi kéo thật căng sợi dây đó. Kết quả thu được sẽ là 1 đường trắc địa.

Mình sẽ lấy 2 ví dụ cụ thể như sau:

1. Lấy 2 điểm bất kỳ trong không gian. Đặt 1 sợi dây vào đó rồi kéo căng, bạn thu được 1 đoạn thẳng. Vậy đây là đường trắc địa duy nhất nối 2 điểm này, và từ trực giác ta cũng thấy được đây là cách ngắn nhất để đi từ điểm này tới điểm kia.

img_20170206_002027113

2. Bây giờ, ta lấy 2 điểm bất kỳ (khác nhau) trên quả cầu. Kéo căng sợi dây ra, bạn sẽ thu được gì? Kết quả đó là dây cung của đường tròn lớn trên hình cầu. Tuy nhiên nếu tinh ý bạn sẽ nhận ra rằng, có 2 khả năng xảy ra, dựa vào việc bạn chọn dây cung phía bên nào của quả cầu. Nếu 2 điểm bạn chọn không phải đối xứng nhau, thì chỉ 1 trong 2 dây cung này là đường ngắn nhất nối 2 điểm.

Từ 2 ví dụ kể trên, ta có thể thấy rằng: đường trắc địa chưa hẳn là đường ngắn nhất nối 2 điểm (tuy nhiên nếu đã ngắn nhất thì sẽ là đường trắc địa). Đường trắc địa chỉ đảm bảo tính “ngắn nhất” 1 cách cục bộ (locally), nghĩa là nếu bạn đi theo đường trắc địa một đoạn nhỏ thì đoạn này sẽ đảm bảo bạn đang đi trên con đường ngắn nhất.

Điểm đầu tiên trên 1 đường trắc địa mà sự “ngắn nhất” của bạn bị sai được gọi là điểm cắt (cut point). Dễ dàng nhận thấy rằng trong không gian 3 chiều, mọi trắc địa đều không có điểm cắt (đường thẳng luôn là đường ngắn nhất). Tuy nhiên, trên quả cầu, điểm cắt của 1 đường trắc địa xuất phát từ cực bắc là cực nam của quả cầu.

img_20170206_002409241

Có một định lý khá hay sau đây: Cố định một điểm p trên manifold M. Kẻ các đường trắc địa từ p theo tất cả các hướng có thể. Gọi C (đường cắt: cut locus) là tập hợp tất cả các điểm cắt của các trắc địa này. Định lý nói rằng, C là một đường liên tục, và nếu vứt bỏ C khỏi M, ta thu được một không gian “giống” như một đĩa tròn.

Ta có thể quay lại ví dụ quả cầu để thấy được điều này dễ hơn: ta nhận ra rằng từ bắc cực, dù đi theo hướng nào, điểm cắt của trắc địa theo hướng đó đều là nam cực. Vậy đường cắt của bắc cực là nam cực. Nếu vứt bỏ nam cực khỏi quả cầu, ta thu được 1 đĩa tròn.

img_20170206_002416119

Nếu bỏ đi điểm X thi quả cầu sẽ thu lại thành 1 đĩa tròn

Đường cắt của 1 điểm nằm bên ngoài rìa của cái donut trông như hình sau đây (và bạn cũng có thể nhận thấy rằng, nếu vứt bỏ đường cắt này, ta sẽ thu được 1 đĩa tròn):

img_20170206_002421583

(Mình chưa nói cho các bạn biết trắc địa trên cái bánh donut trông như thế nào. Thực ra câu hỏi này nghe chừng đơn giản nhưng thực ra lại không, mình sẽ nói thêm trong bài sau)

Nếu ai tinh ý sẽ nhận ra rằng, tính chất của các đường trắc địa bị ảnh hưởng bởi “độ cong” (curvature) của không gian. Ví dụ như giữa 2 điểm trong 3d có duy nhất 1 đường trắc địa trong khi trong quả cầu lại có 2 đường. Có tương đối nhiều cách khác nhau để định nghĩa độ cong, mình liệt kê một số ra đây cho bạn nào tò mò muốn google: sectional curvature (còn được gọi là Gauss curvature cho bề mặt trong không gian 2 chiều), mean curvature, Ricci curvature, scalar curvature, v.v. Các khái niệm độ cong này đều có ý nghĩa hình học khác nhau, và đây sẽ là chủ đề cho bài viết lần tới.

Posted in Uncategorized | Leave a comment

Hình chữ nhật và Mobius Strip

Hôm vừa rồi mình vừa xem được một video hay hay trên youtube về việc tại sao người ta lại quan tâm đến topo. Mình muốn tóm tắt lại những gì được trình bày trong video này cũng như làm rõ hơn một số điều chưa được nói ra trong đó.

Bài toán đặt ra là thế này: Cho một đường cong kín bất kỳ trong mặt phẳng, không tự cắt chính mình (simple closed curve). Chứng minh rằng luôn tồn tại 4 điểm sao cho chúng tạo thành 1 hình chữ nhật.

Thoạt nhìn thì bài toán này có vẻ không liên quan lắm đến topo, vì nó liên quan đến hình chữ nhật, một hình bị kiểm soát tương đối nhiều bởi chiều dài, góc, v.v…, và những đại lượng này đều không được bảo toàn trong các phép biến đổi trong topo (mình xin nhắc lại là trong topo, bạn có thể kéo dãn mọi thứ tuỳ ý). Đây cũng là một trong những lý do khiến cho lời giải này trở nên hay và bất ngờ.

Chúng ta biết rằng một hình chữ nhật được quyết định bởi 2 đường chéo. Nghĩa là, nếu trên đường cong của mình, ta tìm được 2 cặp điểm (A,B) và (C,D) sao cho AB=CD và 2 đoạn thằng này có chung trung điểm, thì ta đã tìm được 1 hình chữ nhật.

img_20170126_215936948_hdr

Với 2 điểm A và B, từ trung điểm M, ta dựng một đoạn vuông góc với độ dài AB. Bạn có thể thấy rằng, sau khi thực hiện việc này với tất cả mọi cặp điểm trên đường cong, ta sẽ thu được một bề mặt trong không gian 3 chiều. Sự tồn tại của 2 cặp điểm (A,B) và (C,D) như trên đồng nghĩa với việc bề mặt này phải “tự cắt” chính mình. Tạm gọi bề mặt này là X.

img_20170126_220304129

Hmm, vậy làm sao để ta chứng minh được một bề mặt như vậy luôn luôn phải cắt chính mình, bất kể đường cong trông như thế nào? Đây là lúc topo ra tay.

Topologists có những cách rất “hình ảnh” để miêu tả những không gian topo. Ví dụ như thế này: Giả sử bạn có một hình vuông. Nếu như bạn dính 2 cạnh đối diện lại với nhau, bạn sẽ có 1 cái ống. Tuy nhiên, nếu 2 cạnh đối diện này được dính ngược chiều nhau, bạn sẽ được dải Mobius.

img_20170126_220823051

Nếu bạn tiếp tục dán tiếp 2 cạnh còn lại của hình vuông này theo cùng chiều, bạn sẽ có 1 cái donut (torus), còn nếu ngược chiều, bạn sẽ nhận được một vật được gọi là Klein bottle.

img_20170126_221147395_hdr

Tuy nhiên hãy cẩn thận khi google những cái Klein bottle này. Những vật bằng thuỷ tinh bạn thấy chỉ là một vật trông từa tựa Klein bottle thôi, chứ thật ra Klein bottle không “tồn tại” trong không gian 3 chiều. Cái này mình sẽ bàn tới sau.

Bạn nào tinh ý sẽ nhận ra rằng, còn một không gian nữa có thể thu được từ việc cắt dán này mà mình chưa nhắc tới, đó chính là một thứ gọi là Real Projective Plane (ký hiệu thường dùng là \mathbb{RP}^2. Nó được thực hiện bằng cách cả 2 lần dán các cạnh đều được thực hiện ngược chiều nhau. Cái này nó giống như việc lấy một hình tròn (có cả phần bên trong) rồi dính các điểm đối diện trên đường viền lại với nhau. Nghĩ thêm một chút thì nó cũng giống như việc lấy hình cầu (không có lõi) rồi dính các điểm đối diện lại với nhau. Không gian này cực kỳ quan trọng trong bài toán mình đang muốn giải.

img_20170126_221318835

Chấm màu đỏ thể hiện việc các điểm đối xứng được dính lại với nhau

Quay trở lại bài toán ban đầu. Mình muốn nhắc lại là ta cần chứng minh bề mặt X tự cắt chính mình. Ta cần phải xem dưới góc nhìn của topo, bề mặt này nó “giống” với cái gì? Câu trả lời nằm trong một trong những không gian mình vừa nêu trên.

Ok, mình sẽ bắt đầu bằng một hình vuông (đường cong thực chất là 1 đoạn thằng [0,1] có 2 đầu dính lại. Hình vuông tượng trưng cho [0,1] x [0,1]). Mỗi điểm trong hình vuông này tương ứng với 1 toạ độ, mỗi toạ độ tương ứng với 2 điểm trên đường cong ban đầu. Nhận thấy rằng mỗi điểm có toạ độ (a,b) thì tương ứng với điểm (b,a) (khi mình tìm trung điểm và độ dài thì không cần quan tâm đến thứ tự điểm), nên có thể “gập đôi” hình vuông này lại theo đường chéo.

img_20170126_221638703_hdr

Tiếp theo, do đường cong là một đường kín, nên điểm đầu và điểm cuối thực chất là một, vậy nên mình phải dính 2 cạnh của tam giác lại như hình sau:

img_20170126_221646204

Ô hay, cái này trông lạ, hình như chưa thấy nhắc đến ở trên? Thực ra thì nó đã xuất hiện rồi, chẳng qua là nó được cắt dán dưới dạng khác thôi.

img_20170126_221653537

Đúng vậy, kết quả thu được là một dải Mobius. Vậy câu hỏi bây giờ trở thành: chứng minh rằng khi mà dính đường viền của một dải Mobius vào một hình tròn sao cho tất cả dải Mobius nằm về một phía của hình tròn thì dải Mobius phải “cắt chính mình”. Hãy chú ý vào phần mình in đậm, vì điều này tương đối quan trọng. Nếu không có điều kiện này thì hiển nhiên bạn có thể có một dải Mobius không cắt chính mình trong không gian 3 chiều (chính là cái bạn có thể tận tay tận mắt tạo ra).

Bây giờ giả sử bạn có một dải Mobius thoả mãn điều in đậm trên mà không tự cắt. Nếu bạn dính tất cả hình tròn dưới đáy vào làm một, bạn sẽ nhận được một không gian mới mà cũng không tự cắt. Không gian mới này là gì?

Hình sau đây sẽ miêu tả mọi việc dễ dàng hơn:

img_20170126_221842997

Tất cả các điểm trên đường màu đỏ được dính lại làm một

Real Projective Plane! Nghĩa là, nếu như bạn có được điều giả sử kia, thì sẽ có một cách đặt Real Projective Plane vào không gian 3 chiều. Đây là lúc để những công cụ mà mình nhắc tới trong 2 bài viết trước vào cuộc. Một trong những công cụ đó là nhóm đồng điều (Homology). Thêm một lần nữa mình xin lỗi hẹn việc giới thiệu cụ thể về Homology, một phần tại vì nhóm này nó dở dở ương ương, nghĩa là nửa hình ảnh mà lại nửa trừu tượng, nên mình chưa nghĩ ra cách nào để viết về nó cho có ý nghĩa.

Nói chung là, người ta chứng minh được một số điều về Real Projective Plane như sau (cái này hơi lằng nhằng, bạn nào ngại chi tiết thì có thể bỏ qua phần 1,2,3 này):

  1. Nhóm cơ bản (được giới thiệu ở bài 1) của \mathbb{RP}^2 là nhóm \mathbb{Z}/2, nghĩa là nhóm chỉ gồm 2 phần tử 0 và 1 (phép toán là phép cộng, 1+0 = 1, 1+1 = 0, v.v. y hệt như trong boolean 0 1 vậy). Cái này có thể được nhìn thấy như sau: Tưởng tượng bạn có 1 vòng tròn trong không gian này. Tạo ra một vòng tròn tương tự và nối 2 cái này lại với nhau. Vì trong không gian này, các điểm đối nhau trên đường viền được dính lại với nhau, nên khi quấn 2 vòng thực chất bạn lại quay lại điểm ban đầu, vì vậy mới có chuyện “1+1=0”.
  2. Nhóm đồng điều H_1 của mỗi không gian thì bằng với việc “giao hoán hoá” nhóm cơ bản \pi_1 (nghĩa là làm cho các phần tử ở đây đều giao hoán với nhau). Ở đây nhóm cơ bản đã giao hoán sẵn rồi, nên kết luận rằng H_1 = \mathbb{Z}/2.
  3. Có một định lý khá nổi tiếng trong đại số topo có tên là Poincare Duality và đồng bọn là Alexander Duality (bạn nào hay để ý đọc báo thì có thể thấy tên ông Poincare này quen quen, chính là vì ông ấy có một conjecture rất nổi tiếng và ai giải được thì nhận được 1 triệu đô. Cuối cùng Perelman giải ra và không nhận tiền …). Một trong những hệ quả của định lý này đó là nếu nhóm H_1 của một không gian 2 chiều (chính xác hơn là đa tạp, manifold) mà như thế này (nghĩa là bằng \mathbb{Z}/2) thì nó không thể nằm trong không gian 3 chiều mà không tự cắt được (ngôn ngữ chính xác cho bạn nào quan tâm: Any n-manifold that can be embedded in \mathbb{R}^{n+1} has torsion free H_{n-1} and H_{n}).

Mấy điều trên hơi lằng nhằng một tí, nhưng nói tóm lại là, nhờ một số định lý “tương đối lớn” của đại số topo thì ta chứng minh được việc đặt Real Projective Plane vào không gian 3 chiều mà không cắt chính mình là không thể làm được (điều này cũng đúng với Klein Bottle).

Vậy nên giả sử của ta là sai, và suy ra rằng luôn luôn tìm được một hình chữ nhật trong đường cong kín trên mặt phẳng 🙂 Nói theo ngôn ngữ ngày Tết là nếu như có một lão bất tài làm ra một cái đĩa không tròn mà có hình dạng kỳ dị bất kỳ, thì lão cũng đừng có buồn, luôn có một lão bất tài khác làm ra một cái bánh chưng hình chữ nhật đặt vừa khít cái đĩa kỳ dị kia.

 

 

 

Posted in Uncategorized | 2 Comments

Topo có ứng dụng được không?

Sau khi viết xong bài trước về đại số topo thì mình nhận được một phản hồi như thế này: mấy cái topo này nghe thì hấp dẫn thật, nhưng mà nó không “đã”, “đã” ở đây nghĩa là nó dùng nhiều công cụ abstract nhưng không có ứng dụng gì cụ thể. Nếu như một nhà toán học đọc được câu nói này 20 năm trước thì có lẽ người ấy cũng sẽ phải nhún vai đồng ý. Tuy nhiên, những năm gần đây, lĩnh vực này có những bước tiến tương đối mới, lấn sân sang engineering, robotics, data science,… mà trước đó không ai lường tới. Mình muốn sơ lược qua về một mảng nhỏ của bộ môn mới này (tạm gọi là topo ứng dụng), còn nó có “đã” hay không thì tuỳ người đọc quyết định.

Bây giờ mình có bài toán như sau: Trong thành phố của bạn có rất nhiều cột phát sóng, mỗi cột có phạm vi ảnh hưởng khác nhau, nhưng đều có điểm chung là vùng phát sóng có dạng một đĩa tròn. Đứng tại mỗi điểm, điện thoại của bạn có thể đếm được số cột mà nó nhận được sóng, tuy nhiên không phân biệt được các cột này với nhau. Giả sử bạn có thể đi khắp thành phố để thu thập thông tin, liệu bạn có đếm được tổng số cột phát sóng?

Suy nghĩ một lúc, bạn sẽ nhận ra rằng khi thực hiện việc đếm này, rất nhiều cột sẽ bị đếm lặp (2 lần, 3 lần, …) và vì vậy sẽ cần cộng trừ việc đếm lặp này sao cho phù hợp. Nếu ai đó có biết một chút về Topo thì điều này sẽ làm liên tưởng ngay đến một đại lượng bất biến rất nổi tiếng trong đại số topo, đó chính Euler characteristics \chi, tạm dịch là chỉ số Euler.

  1. Euler characteristics là gì?

Giả sử bạn có một đa diện trong không gian 3 chiều. Gọi V là số đỉnh, E là số cạnh, F là số mặt (các chữ này đại diện cho vertex, edge, và face). Ví dụ như 1 tứ diện sẽ có V = 4, E = 6, F = 4, hình hộp sẽ có V = 8, E = 12, F = 6, octahedron (2 cái kim tự tháp dính đáy vào nhau) sẽ có V = 6, E = 12, F = 8.

Bây giờ bạn thử tính đại lượng sau đây: \chi := V - E + F.

Với tứ diện, \chi = 4-6+4=2. Với hình hộp, \chi = 8-12+6=2. Với octahedron, \chi cũng bằng 2. Chuyện gì đang xảy ra vậy?

Trước khi đi sâu hơn vào vấn đề này, mình muốn đưa ra một chứng minh vui vui cho hiện tượng này (lời giải được ăn cắp từ blog của bác Đàm Thanh Sơn).

Giả sử trên mỗi cạnh của khối đa diện có một điện trở 1 ohm. Cố định 2 đỉnh bất kỳ rồi nối vào đó 2 cực của một pin. Giả sử tổng dòng điện là 1 ampe. Gọi các đỉnh là 1,2, 3, … n, cường độ dòng điện trên cạnh nối đỉnh i với đỉnh j là A_{ij}. Nhận thấy rằng A_{ij} = -A_{ji}, vì vậy có thể coi là có E đại lượng kiểu này. Định luật Kirchhoff cho ta biết 2 điều sau:

Thứ nhất, tại mỗi đỉnh i (trừ 2 đỉnh nối vào pin), tổng \sum A_{ij} = 0 với j là các đỉnh có cạnh nối với i. Còn lại ở 2 đỉnh kia, tổng này bằng 1 hoặc -1. Có bao nhiêu phương trình như thế này? Câu trả lời là V. Tuy nhiên các phương trình này không độc lập với nhau (Cộng 2 vế tất cả các phương trình này lại ta được 0=0), vì vậy có V-1 phương trình độc lập.

Thứ hai, hiệu điện thế giữa 2 đỉnh i, j kề nhau bằng chính A_{ij}, vậy nếu xét trên 1 mặt có các đỉnh i_1, i_2, ..., i_k, ta có \sum_{m=1}^k A_{im} = 0. Tương tự như trên, ta có F mặt nên có F phương trình, tuy nhiên cũng chỉ có F-1 phương trình độc lập.

Từ vật lý ta thấy rằng từ những phương trình này ta có nghiệm duy nhất cho các biến trên, nghĩa là V-1 + F-1 = E, hay V-E+F = 2.

Đương nhiên đây chỉ là một cách giải vui chứ không mang nhiều ý nghĩa toán học. Nếu bạn đã đọc bài viết trước của mình, bạn sẽ nhận ra rằng các khối đa diện này đều “giống” với hình cầu. Khi các vật giống nhau, thì ngoài nhóm cơ bản (fundamental group) như mình trình bày tại bài trước, thì còn có một đại lượng bất biến khác, đó là nhóm đồng điều (homology group). Định nghĩa cũng như ví dụ cho nhóm này mình xin phép được để dành cho bài viết khác.

Tuy nhiên, có một điều rất thú vị như sau: ta chứng minh được rằng, chỉ số Euler \chi = \sum (-1)^k b_k, trong đó b_k là một hằng số (gọi là số Betti) tương ứng với homology group thứ k. Hệ quả là, do các homology group này là bất biến đối với các vật “giống nhau”, chỉ số Euler cũng sẽ là một bất biến! Điều này giải thích tại sao V-E+F = 2 cho tất cả các khối đa diện như trên.

2. Vậy chỉ số Euler liên quan gì đến bài toán kể trên?

Chỉ số Euler có một tính chất rất quan trọng, đó là tính “cộng” (additivity): giả sử A và B là 2 tập hợp cùng nằm trong một không gian, ví dụ như \mathbb{R}^n (2 tập này cần có một số tính chất “đẹp”, tuy nhiên không quá quan trọng với câu chuyện mình đang kể), ta có đẳng thức như sau:

\chi(A \cup B ) = \chi(A) +\chi(B) - \chi(A \cap B)

Đẳng thức này khiến cho chỉ số Euler giống một độ đo (measure). Chú ý ở đây mình chỉ nói là “giống”, chứ không phải “là” (ví dụ, chỉ số Euler có thể nhận giá trị âm, còn measure thì không). Tuy nhiên, mỗi khi có một độ đo (hoặc một thứ gần giống), điều đầu tiên mọi người nghĩ tới là nghiên cứu lý thuyết tích phân (integration theory) của độ đo này, và chỉ số Euler không phải ngoại lệ. Cụ thể như sau:

Gọi cả không gian là X. Với mỗi tập A, gọi 1_A là hàm nhận giá trị 1 trên A và 0 ở ngoài A. Định nghĩa \int_X 1_A d\chi = \chi(A). Với mỗi hàm h = \sum 1_{A_i}, ta có \int_X h d\chi = \sum \chi(A_i).

Quay lại với bài toán lúc ban đầu. Mỗi cột phát sóng $A_i$ có vùng phủ sóng là một đĩa tròn, nghĩa là \chi =1 (hãy nhớ rằng đĩa tròn “giống” với 1 điểm, mà theo công thức đỉnh – cạnh + mặt – … thì chỉ số Euler của 1 điểm là 1). Tại mỗi điểm trong thành phố, gọi h là số cột phát sóng mà điện thoại của bạn nhận được tín hiệu. Dễ dàng nhận thấy h = \sum 1_{A_i}, trong đó A_i là vùng phủ sóng của cột i. Vì vậy, tổng số cột phát sóng trong thành phố X sẽ được ghi lại bởi một công thức ngắn gọn sau đây:

\int_X h d\chi

Đẹp phải không?

Ngoài ra, có thể nhận ra rằng, vùng phát sóng của các cột này không cần bị giới hạn phải là một đĩa tròn, mà chỉ cần “giống” một đĩa tròn là đủ. Ta còn có thể tổng quát bài toán lên nữa bằng cách giả sử tất cả các vùng này đều có chỉ số Euler bằng nhau (không nhất thiết bằng 1) và bằng n khác 0, thì số cột sẽ bằng \frac{1}{n} \int_X h d\chi.

Đương nhiên câu hỏi đặt ra là những biểu thức này có tính được không (computable). Mình xin tạm trả lời là có và không giải thích thêm, bởi để kể hết câu chuyện này là một quá trình không hề đơn giản, xin phép để dành cho các kỳ tiếp theo. Tuy nhiên, mình muốn nhấn mạnh rằng, việc quy đổi bài toán thành một vấn đề liên quan đến đại số topo giúp chúng ta có thêm rất nhiều công cụ, giúp cho việc tính toán trở nên dễ dàng hơn.

Posted in Uncategorized | Leave a comment

Thế giới cao su, hay giới thiệu về đại số topo

Hãy tưởng tượng rằng bạn đang sống trong một thế giới làm toàn bằng cao su, nơi mà mọi vật đều có thể co dãn tuỳ thích. Một quả bóng to 1m có thể được thổi phồng to ra 100m hay bao nhiêu cũng được. Trong một thế giới như vậy, một câu hỏi rất tự nhiên được đặt ra là, làm thế nào để người ta phân biệt được các vật với nhau? Suy cho cùng, cái cốc uống nước và cái bánh vòng cũng chỉ như nhau mà thôi (đây là một trong những ví von mà ai nói tới topo cũng dùng, cho dù mình không thích nó cho lắm).

1. Thế nào là “giống nhau”?

Khi mà các vật đều có khả năng thay đổi hình dạng, thật khó mà phân biệt được các đồ vật trong thế giới này.

Quả bóng 1m và quả bóng 100m thực sự rất giống nhau, giống đến mức mà với mỗi điểm trên quả bóng nhỏ ta đều tìm được 1 điểm tương ứng trên quả bóng to bằng cách kẻ 1 tia từ tâm tới điểm đó (di chuyển sao cho 2 quả bóng đồng tâm).

img_20161226_215532327

Không hẳn mọi vật đều “giống nhau” theo kiểu như vậy. Hình tròn và cái ống nước cũng rất “giống nhau”, vì ta luôn có thể ép cái ống bẹp dúm xuống và tạo nên hình tròn. Tuy nhiên, ở đây sự việc không giống như ví dụ của 2 quả bóng kể trên, vì với mỗi điểm trên hình tròn tương ứng với hẳn “một đường thằng” trên cái ống nước. Đương nhiên đây chỉ là trực giác, không phải cách chứng minh (gợi ý cách chứng minh: thử lấy đi 2 điểm trên mỗi vật và so sánh sự “liền mạch” của phần còn lại của 2 vật đó).

img_20161226_215611462

Trong bộ môn topo, việc so sánh và phân loại 2 vật theo kiểu thứ nhất (2 quả bóng) là tương đối khó khăn (“bài toán triệu đô” Poincare Conjecture chính là một trong những bài toán như vậy), vì thế ở đây ta có thể tạm định nghĩa “giống nhau” là theo kiểu thứ hai.

2. Vậy làm thế nào để phân biệt chúng?

Hãy bắt đầu bằng ví dụ đơn giản nhất. Làm thế nào để phân biệt được 1 tờ giấy nguyên vẹn và 1 tờ giấy bị thủng ? Hãy tưởng tượng tờ giấy bị thủng bằng cách đặt nó nằm trên mặt bàn và bị 1 cái đinh cắm vào. Cách đơn giản nhất để phân biệt 2 tờ là kiếm lấy 1 sợi dây, nối lại thành vòng tròn. Coi như cố định 1 điểm của sợi dây trên tờ giấy, rồi rút phần còn lại của sợi dây. Khi tờ giấy còn nguyên, sợi dây sẽ được rút về tới điểm cố định. Tuy nhiên trong trường hợp còn lại, sợi dây bị mắc lại ở cái đinh, không đi được nữa (hãy nhớ rằng bạn chỉ được phép trượt sợi dây trên mặt bàn thôi, không được nhấc lên và vòng qua cái đinh). Chính vì vậy, có thể kết luận tạm là 2 tờ giấy này không giống nhau.

Tuy nhiên nếu suy nghĩ một lúc, bạn có thể thấy rằng cách làm này tuy hay nhưng cũng có một số hạn chế.

Thứ nhất, giả sử bạn dùng cách tương tự để phân biệt quả bóng và tờ giấy. Buộc một vòng dây quanh quả bóng, bạn luôn có thể trượt sợi dây về một điểm, giống hệt như khi làm với tờ giấy. Vậy chẳng lẽ 2 vật này “giống nhau”?

img_20161226_220749617

Trực giác mách bảo rằng câu trả lời là không, vậy có nghĩa là cách làm này không thể phân biệt được hoàn toàn các vật, mà chỉ có thể dùng trong trường hợp: khi kết quả của việc rút sợi dây là khác nhau thì 2 vật khác nhau. Tên thường dùng của phương pháp này là nhóm cơ bản (fundamental group), mình sẽ giải thích cụ thể hơn tên gọi này trong phần sau.

Vấn đề thứ hai gặp phải đó là, nếu như bạn có 2 tờ giấy, 1 tờ bị thủng 1 lỗ, tờ kia bị thủng 2 lỗ, cách làm này cũng đâu phân biệt được. Nó chỉ giúp bạn nhận ra rằng 2 tờ giấy này đều bị thủng lỗ thôi. Tuy nhiên, có một cách đơn giản để có thể giúp bạn khắc phục được việc này. Kiếm một cái kéo. Với tờ giấy có 2 lỗ thủng, tồn tại một cách bạn có thể cắt nó làm đôi sao cho mỗi lỗ ở 1 bên, rồi dùng phương pháp sợi dây để kết luận là mỗi bên đều bị thủng, nghĩa là tờ giấy bị thủng ít nhất 2 lỗ. Tuy nhiên với tờ giấy có 1 lỗ, dù bạn có cắt thế nào đi nữa, một bên của tờ giấy luôn luôn lành lặn. Voila, vậy là bạn đã phân biệt được 2 tờ giấy này rồi! Cách làm mình vừa chỉ ra là ý tưởng chính của định lý Seifert-Van Kampen, mình sẽ không giải thích thêm ở đây, nhưng sẽ có thể trình bày ở một số bài viết sau nếu mọi người quan tâm.

3. Nhóm cơ bản?

Quay lại vấn đề lúc trước, mình có nhắc tới tên gọi của phương pháp sợi dây này, đó là nhóm cơ bản. Nhóm ở đây là một khái niệm toán học, không phải chỉ là một từ tiếng Việt thông thường. Vậy nhóm là gì? Thay vì việc đưa định nghĩa cho các bạn, mình sẽ sử dụng chính ví dụ mà mình đang dùng để minh hoạ cho khái niệm này.

Trong một thời gian dài (tới tận khoảng đầu những năm 1900), các nhà toán học chỉ sử dụng việc “đếm lỗ” để phân biệt các vật, và khiến cho bộ môn topo tiến gần tới bộ môn tổ hợp (liên quan đến đếm mà). Tuy nhiên, vào khoảng những năm 1910-1920, Emmy Noether nhận ra rằng phương pháp này không dừng lại ở đó.

Giả sử bạn có 2 sợi dây, mỗi sợi đều cuốn 1 vòng quanh cái đinh. Bây giờ tách sợi dây ra (không nối lại với nhau nữa), và dính đầu của sợi này vào đầu của sợi kia. Có 2 khả năng xảy ra. Hoặc là bạn vừa tạo ra một sợi dây mới, cuốn 2 vòng quanh cái đinh, hoặc 1 sợi dây không cuốn vòng nào cả. Vậy, việc dính 2 sợi dây như trên tương đương với một phép toán cộng-trừ với số vòng quanh cái đinh.

Hơn thế nữa, bạn có một “số 0” trong phép toán này, đó chính là sợi dây không cuốn quanh cái đinh (nối một sợi dây khác với nó không làm thay đổi số vòng cuốn ban đầu). Đây chính là ví dụ đơn giản nhất về khái niệm nhóm. Những tính chất mình vừa nói kể trên (có một “số 0”, có một phép toán cộng trừ trong tập số, và mỗi số x đều có “số đối” -x của mình) cũng chính là định nghĩa của nhóm. Với khái niệm nhóm này, các nhà toán học có thể tính toán nhiều hơn với nhiều công cụ hơn đến từ bộ môn đại số (algebra). Từ đó mà cái tên của bộ môn này được sinh ra: đại số topo (algebraic topology).

Quay trở lại một chút với vấn đề lúc trước: phương pháp rút sợi dây không thể giúp ta phân biệt được tờ giấy và quả bóng, vậy giờ phải làm sao? Suy nghĩ một chút, có thể nhận ra rằng, quả bóng “nằm trong” nhiều hơn 1 chiều không gian (cái này không mang nhiều ý nghĩa mathematically speaking, bạn nào biết thì có thể sẽ bắt bẻ mình, vì thực chất 2 vật này đều là đa tạp 2 chiều, tuy nhiên không bàn thêm ở đây…), vậy thay vì việc dùng sợi dây để tìm lỗ hổng, hay là ta dùng một quả bóng để tìm lỗ hổng?

Cụ thể hơn như sau: vì tính co dãn cao su, quả bóng cũng “giống” như không gian 3 chiều khuyết đi 1 điểm (cũng tương tự như trên, hình tròn “giống” với tờ giấy khuyết đi 1 điểm), còn tờ giấy thì có thể co lại thành 1 điểm, rồi kéo dãn ra thành không gian 3 chiều.

Vậy bài toán trở thành phân biệt 2 không gian sau đây: không gian 3 chiều và không gian 3 chiều khuyết mất 1 điểm. Hiển nhiên dùng sợi dây sẽ không tìm được lỗ hổng này, nhưng dùng 1 quả bóng sẽ tìm được. Công việc này, giống như nhóm cơ bản nêu trên, cũng có một cái tên cho mình, được gọi là nhóm đồng luân số 2 (2 ở đây ám chỉ việc quả bóng là một vật có 2 chiều). Tên tiếng Anh của nó là Homotopy group. Nhóm cơ bản cũng chính là một tên gọi khác của nhóm đồng luân số 1 (vòng tròn là một vật có 1 chiều).

Tuy nhiên, các nhóm đồng luân nhiều chiều này cực kỳ khó tính toán, khác hẳn với nhóm cơ bản (tương đối dễ, một phần vì có định lý Van Kampen mà mình có nhắc tới ở trên). Vậy nên các nhà toán học phải nghĩ ra các công cụ khác dễ tính toán hơn, mặc dù không “mạnh” bằng. Các công cụ này mang tên Homology and Cohomology groups (nhóm đồng điều và đối đồng điều). Cái này mình xin hẹn các bạn trong kỳ tiếp theo.

PS: đây là lần đầu mình viết expository kiểu này, nên có thể có nhiều sơ suất. Ai có câu hỏi/góp ý mình xin nhận hết, có thể để lại comment ở đây/trên facebook/pm đều được cả.

Posted in Uncategorized | Leave a comment